Home Hilberts Hotel

Hilberts Hotel

Door Huub van Baar op 29 januari 2013

06-2002 Filosofie magazine Lees het magazine

Het universum en zijn in de nacht oplichtende hemellichamen, waren van meet af aan in alle culturen aanleiding voor diepgaande speculaties over het oneindige. Geen speculatie is zo vatbaar geweest voor misleidingen en paradoxen. Is oneindigheid te tellen? Wat is de relatie tussen eindig en oneindig? Is oneindig hetzelfde als ‘niet eindig’? “Het woord ‘oneindig’ heeft een andere grammatica dan een telwoord”, wilde Wittgenstein de eeuwenlange discussie sluiten. Maar de grote en kleine oneindigheden van wiskundige Cantor hielden stand in de informatica.

Dit artikel is exclusief voor abonnees

Dit artikel op Filosofie.nl is alleen toegankelijk voor abonnees. Met liefde en zorg werken wij iedere dag weer aan de beste verhalen over filosofie. Steun ons door lid te worden voor maar €4,99 per maand. Log in om als abonnee direct verder te kunnen lezen of sluit een abonnement af.

De wiskundige David Hilbert (1862–1943) kwam in 1925 met een eigenaardig gedachte-experiment: het Hilberts Hotel. Het is een hotel met een oneindig aantal kamers. Ook als het vol is, alle kamers bezet zijn en er op dat moment dus een oneindig aantal gasten in het hotel verblijft, blijft het bord met “U bent van harte welkom!” aan de gevel hangen. Als er zich een nieuwe gast aandient, heeft de waard er geen enkel probleem mee ook voor die gast een vrije kamer te vinden. Sterker nog: zou die gast niet alleen komen, maar met een oneindig aantal vrienden, dan moet de waard weliswaar enige moeite doen en van de al ingeboekte gasten de bereidwilligheid vragen om van kamer te veranderen, maar uiteindelijk lukt het hem om ook deze nieuwe gasten in het hotel onder te brengen, zonder ook maar één extra bed te hoeven aanschuiven en zonder de nieuwe gasten op de kamers van de oude onder te brengen. Als het allemaal niet erg tegenstrijdig is, dan gaat het ons wel duizelen. Is Hilbert geniaal of gewoon verward? Hoe kan een oneindig groot hotel vol zijn, en hoe kan een vol hotel nieuwe gasten aannemen?

De moeilijkheden van deze herbergzame structuur van Hilberts Hotel liggen in onze opvatting van het oneindige. Er is vrijwel geen begrip dat zo vatbaar is voor misleidingen en dat in de geschiedenis zoveel aanleiding heeft gegeven tot paradoxen en schijnbare tegenspraken als juist het oneindige. Niet voor niets werd het symbool dat wiskundigen voor oneindigheid gebruiken in de Oudheid, de Middeleeuwen en de Romantiek met magie, goochelaars en fraudeurs geassocieerd, en gaat dit symbool op Tarotkaarten vaak vergezeld van een jongleur. De lemniscaat, weergegeven door het symbool ¥, is het teken dat wiskundigen voor het oneindige gebruiken; een soort van luiheid op z’n kant gevallen 8, waarover je je een eindeloos voortgaande beweging kunt voorstellen. Er kleeft iets diabolisch aan het oneindige, iets ongrijpbaars en duizelingwekkends, dat al snel het pact tussen Faust en Mefisto in herinnering roept, en de donkere, schimmige wereld waarin kille liefde en duivelse kennis elkaar onder hoongelach ontmoeten.
 

Horror infiniti

Het universum, en vooral de in de nacht oplichtende hemellichamen, waren van meet af aan, en in alle culturen, aanleiding voor diepgaande speculaties over het oneindige. Hoe ver staan de sterren bij ons vandaan? Is het universum eindig of oneindig? En als het dan eindig is, waardoor wordt de kosmos dan begrensd? En vooral: wat is er dan voorbij die grens? Niets? God? Een lege ruimte? Of toch weer iets anders? Hoewel de Egyptenaren, Babyloniërs, Indiërs, Chinezen en Maya’s al in de vroege ontwikkelingen van hun cultuur over het oneindige hebben gespeculeerd, waren de Grieken de eersten die de astronomie tot wetenschap verhieven, en het bestaan van het oneindige in met name hun wiskunde onderkenden.

Het oneindige was voor de Grieken echter tegelijk een soort heet opgestookt vuur, waar je vooral niet te dichtbij mocht komen. Je zou hetzelfde lot staan te wachten als Ikaros, de Griekse mythologische figuur, die, eenmaal voorzien van vleugels, naar de zon probeerde te vliegen, maar nog voor zijn aankomst de met was aan zijn lichaam bevestigde vleugels verloor en in de naar hem vernoemde zee neerplofte. Het oneindige was besmet met een vrees die tot in de late Middeleeuwen in de uitdrukking horror infiniti hoorbaar zou blijven, en die de grootste Griekse denkers, Plato en Aristoteles incluis, ertoe bracht het oneindige als een ongewenste gast uit hun wereldbeeld te verbannen.

“Een actueel oneindige bestaat niet”, schreef Aristoteles in zijn Fysica. Een verzameling getallen of dingen kon volgens hem hooguit potentieel oneindig zijn, eenvoudigweg omdat we geen grootste getal kunnen benoemen. En zolang dat niet kan, kunnen we ons die verzameling ook niet als een afgeronde eenheid voorstellen, en kan er dus geen actualiteit aan toekomen. Tegen een hoge prijs werd zo het oneindige in de Griekse filosofie getaboeïseerd.

Wel het duidelijkst blijkt dat uit de beroemde paradox van Zeno van Elea. Een atleet en een schildpad nemen het tegen elkaar op, maar omdat die arme schildpad niet zo hard kan rennen als de atleet, krijgt hij een voorsprong. Het noodlot van de atleet, meent Zeno, want nu kan hij de schildpad nooit meer inhalen. Ga maar na: als de schildpad begint bij, laten we zeggen, de eerstvolgende lantaarnpaal, dan is de schildpad op het moment dat de atleet bij die lantaarnpaal is, al weer een stukje verder, zeg twintig stoeptegels. En als de atleet ook die twintig stoeptegels heeft overbrugd, dan is de schildpad opnieuw een stukje verder. Zo redeneerde Zeno door, en hij trok de conclusie, geheel in strijd met onze ervaring, dat de atleet de schildpad nooit inhaalt.
 

Elegante cirkelredenering

Het zou nog eeuwen duren eer de paradox van Zeno werd opgelost. Het oneindige liet in de tussentijd de filosofen niet los. De eerste dissidente geluiden kwamen van Plotinus en Augustinus, die god als het actueel oneindige beschouwden. Aan het einde van de Middeleeuwen echter, met de revival van de werken van Aristoteles, zou het verbod op de flirt met het oneindige, nieuwe kracht worden bijgezet. In zijn Summa Theologiae schreef Thomas van Aquino: “Het bestaan van een actueel oneindige is onmogelijk. Iedere verzameling van dingen moet een specifieke verzameling zijn. En verzamelingen van dingen worden gespecificeerd door het aantal elementen. Dat kan echter niet oneindig zijn, want ieder aantal is het resultaat van het tellen van eenheden in een verzameling. Hieruit volgt dat geen verzameling van dingen actueel onbegrensd kan zijn.” Hoewel God zelf onbegrensd is, kunnen zijn creaties dat volgens Thomas niet zijn: “Gods kracht mag dan absoluut onbegrensd zijn, dat maakt het nog altijd niet mogelijk dat hij een absoluut onbegrensd ding creëert, net zo goed als hij geen ‘ongemaakt’ ding kan creëren.”

Dit is een elegante conclusie, maar ze is het gevolg van een cirkelredenering. God zelf, het absolute, is volgens Thomas in ieder opzicht onvoorstelbaar. Toch kennen we volgens zijn redenering een unieke eigenschap van God: hij is onbegrensd. Maar als dat zo is, dan kunnen we ons God in elk geval in één opzicht wél voorstellen, namelijk als het enige dat onbegrensd is. Het onvoorstelbare wordt zo afhankelijk gemaakt van iets waarvan we ons een voorstelling kunnen maken, terwijl iets waarvan dat kan, volgens Thomas begrensd is. Een soortgelijke denkfout maakte Aristoteles bij het onderscheid van het actuele en potentiële oneindige. Voor hem is de mogelijkheid om elementen te kunnen tellen hét kenmerk van een verzameling. Het potentiële oneindige wijst hij af omdat we niet door kunnen tellen tot een grootste element. Maar dat betekent tegelijk – en daar gaat het fout – dat het concept van oneindigheid afhankelijk wordt gemaakt van het tellen zoals dat voor eindige verzamelingen geldt.

Hier ligt meteen ook de grote verwarring die in de loop van de geschiedenis steeds weer opduikt als het om het oneindige gaat. Wat heeft oneindigheid te maken met tellen? Wat is de precieze relatie tussen eindig en oneindig? Is oneindig hetzelfde als ‘niet eindig’ of kunnen we oneindigheid in plaats van als de ontkenning van eindigheid ook nog op een positieve, bevestigende manier denken?

De eerste wezenlijke bijdrage tot de opheldering van de mist rondom het oneindige, komt, aan het begin van de viertiende eeuw, van de Engelse scholasticus William van Ockham. Volgens hem ontstaat de hele verwarring zodra we het eindige en oneindige als gelijkvormig opvatten, en dus behept met dezelfde eigenschappen. Van eindige verzamelingen zeggen we dat de één groter is dan de ander als het aantal elementen groter is. Volgens Ockham bestaat de verleiding om die eigenschap ook op oneindige verzamelingen toe te passen. Dat is echter niet mogelijk, meent hij, want het aantal elementen van eindige verzamelingen is bepaald, maar dat van oneindige onbepaald.

Ockham gaat nog een stap verder: er is niet één soort oneindigheid, maar er bestaan vele soorten en maten. Dat was een gedachte die tot dan toe voor volstrekt onmogelijk werd gehouden. Zou je van het oneindige iets eindigs afhalen, dan zou wat overblijft nog altijd oneindig blijven, en iets anders worden. Maar hoe zou dat kunnen? Het deel zou dan net zo groot zijn als het geheel, namelijk oneindig. Ockham zag daarin geen probleem en herleidde dit probleem tot de fundamenteel verschillende aard van eindige en oneindige verzamelingen. Daarmee was hij zijn tijdgenoten ver voor, en had hij, zoals we nog zullen zien, gemakkelijk een gesprekspartner van bijvoorbeeld Wittgenstein kunnen zijn.

Het nieuwe wereldbeeld dat in de vijftiende eeuw als de zon aan de hemel van de donkere Middeleeuwen verscheen, was een belangrijke stimulans om het oneindigheidsbegrip onder de loep van de moderne natuurwetenschappen te leggen. Galilei meende in het verlengde van Ockham dat we begrippen als ‘groter’, ‘kleiner’ en ‘gelijk’ niet op dezelfde manier op eindige als op oneindige verzamelingen kunnen toepassen, en had de indruk dat voor beide soorten verzamelingen een ander soort rekenkunde gold. Ook kon het rad dat Zeno ons voor ogen had gedraaid, met de ontwikkeling van Newtons mechanica tot stilstand worden gebracht.
Zeno was bij zijn strijd tussen de atleet en de schildpad zo geobsedeerd door plaats en ruimte, dat hij de tijd helemaal was vergeten. Het begrip snelheid in combinatie met het begrip plaats, ontzenuwt Zeno’s paradox. Voor de liefhebber: Zeno splitst steeds het tot dan toe afgelegde traject in tweeën, en gaat daarmee oneindig door. De limiet van de optelling is echter gelijk aan 2, en dit impliceert dat Zeno het traject van de marathon ten onrechte beperkt tot laten we zeggen de eerstvolgende straathoek.

Immanuel Kant is de eerste filosoof die de verwarring rondom het oneindige grondig probeert te verklaren. Wie filosofeert over oneindigheid, zo meent hij, past de concepten die we aan onze ervaringswereld ontlenen, op zaken toe die in die wereld helemaal niet als concrete dingen voorkomen. We gaan het boekje van ons verstand grof te buiten. De wereld is geen ding zoals de tafel waaraan we wiskundesommetjes maken, en we mogen dan ook op de kosmos niet straffeloos de instrumenten van ons verstand toepassen.
 

Wiener Kreis

De hang naar het oneindige achtte Kant inherent aan het menselijke vernuft, hoewel al onze ideeën over het oneindige gedoemd zijn speculatief van aard te blijven. Zulke ideeën leiden volgens Kant niet tot kennis, maar dragen wel bij aan de eenheid van ons wereldbeeld. Pas als we tegelijk het eindige én het oneindige denken, krijgen we de eindjes een beetje aan elkaar. Bijna honderd jaar later zou deze erfenis van Kant een wiskundige evenknie vinden in een belangrijke overweging van Georg Cantor: “Een verzameling is een hoeveelheid die we ons als een eenheid kunnen voorstellen.”

De wiskundige Cantor (1845–1918), geboren in Sint Petersburg en getogen in Duitsland, is de eerste die het actuele oneindige in zijn volle omvang erkent, en naast de actuele oneindigheid van god, een nieuw soort actuele oneindigheid introduceert: het transfiniete oneindige. Dit begrip ontketende een revolutie in de wiskunde, en betekende een vogelvlucht in het denken over oneindigheid. Cantors idee is eenvoudig: twee verzamelingen zijn even groot als ieder element van de ene verzameling een paar vormt met een element uit een andere verzameling, een zogenaamde 1-1 relatie. Voor eindige verzamelingen is dit evident: de verzameling getallen {1, 2, 3, 4} is even groot als {2, 4, 6, 8}, omdat we de paren 1-2, 2-4, 3-6 en 4-8 kunnen vormen.
Cantor paste het beginsel van de 1-1 relatie ook op oneindige verzamelingen toe, zoals de verzameling van alle positieve gehele getallen {1, 2, 3, 4, …} en die van alle even getallen {2, 4, 6, 8, …}. Welke verzameling is nu groter? Onze intuïtie zegt, gebaseerd op ons idee van eindige verzamelingen, dat de verzameling van álle positieve gehele getallen, dus die van de even én de oneven getallen, twee keer zo groot is als die van alleen de even getallen. Maar dat is niet waar: deze verzamelingen zijn even groot! Net als Ockham ziet Cantor er geen probleem in dat de tweede verzameling een deel is van de eerste. Maar anders dan Ockham heeft Cantor er ook een wiskundige verklaring voor: de paren 1-2, 2-4, 3-6, 4-8, 5-10, et cetera verduidelijken dat er een 1-1 relatie tussen deze verzamelingen bestaat en dus dat ze even groot zijn.

Cantors jongere tijdgenoot David Hilbert verdedigde dit aanvankelijk zeer omstreden begrip van het oneindige: “Niemand zal ons verdrijven uit het paradijs dat Cantor voor ons creëerde.” Hilbert probeerde Cantors vondst publiek te maken en stichtte met dat doel het hotel dat nooit een gast hoeft te weren. Hoe zit het daar nu mee? Als de waard een nieuwe gast wil onderbrengen, dan vraagt hij iedere gast één kamer op te schuiven. Dus de gast in kamer 1 gaat naar kamer 2, die in 2 naar kamer 3, et cetera. De nieuwe gast kan dan in kamer 1 zijn roes uitslapen. En ook als er een oneindig aantal nieuwe gasten komt, hoeft de waard slechts Cantors geest door het hotel te laten waaien: hij vraagt iedere gast of die naar de kamer wil gaan met het nummer dat twee keer zo groot is als het nummer van de kamer waarin hij nu verblijft. Dus de gast uit kamer 1 gaat naar kamer 2, die uit 2 naar 4, die uit 3 naar 6, et cetera. Op die manier komen alle kamers met een oneven nummer vrij en aangezien de verzameling van alle oneven getallen even groot is als die van de positieve gehele getallen, kunnen de nieuwe gasten moeiteloos worden ondergebracht. Het probleem gaat dus in rook op zodra er een vindingrijke 1-1 relatie tussen de gasten en de kamers is gevonden.

Hilberts Hotel was voor Cantor eigenlijk nog maar het begin. Al dit soort verzamelingen zijn aftelbaar: we kunnen onze vingers gebruiken om de elementen te tellen. Volgens Cantor zijn dit echter nog maar de allerkleinste oneindige verzamelingen. Er bestaan ook niet-aftelbare verzamelingen, die wezenlijk groter zijn dan aftelbare. Denk bijvoorbeeld aan de verzameling van álle getallen, dus niet alleen van gehele getallen, maar ook van breuken, wortels en getallen zoals p. Van die verzameling kunnen we de elementen niet aftellen, en dit is volgens Cantor de eerste soort verzameling die groter is dan die met een aftelbaar aantal elementen. Op deze manier ontwierp hij, zoals Galilei al rond 1630 voor ogen stond, een nieuwe rekenmethode voor oneindige verzamelingen, en verzamelingen die zó groot zijn, dat de verzameling {1, 2, 3, …} tot niets lijkt te verschrompelen.

Maar er blijft iets knagen. Misleidt het hele idee van de 1-1 relatie ons niet? Wittgenstein probeerde de verwarring te verklaren door eindig- en oneindigheid te herleiden tot verschillende taalspelen, die ieder zo hun eigen regels hebben: “Het woord ‘oneindig’ heeft een andere grammatica dan een telwoord”, merkte hij rond 1930 op in de Wiener Kreis. Wittgenstein had tegelijk ook bezwaren tegen Cantors methode. Een aparte rekenkunde voor oneindige verzamelingen loopt het risico zinledig te worden, en voor Wittgenstein, die “meaning is use” tot zijn lijfspreuk maakte, was dit verdacht. Dat de betekenis van iets van het gebruik ervan afhangt, betekende in de context van de wiskunde volgens hem dat die toegepast moest kunnen worden. Voor hem was Cantors rekenkunde “voorlopig een stuk wiskundige architectuur, die in het luchtledige hangt …, die bovendien door niets wordt ondersteund en die ook zelf niets ondersteunt.” In zijn speculaties over de filosofie van de wiskunde spreekt Wittgenstein zelfs de hoop uit “dat een toekomstige generatie om deze hele hokus pokus zal lachen.”

Hieruit blijkt dat zelfs Wittgenstein zich enigszins in de luren heeft laten leggen door de duivelse kunstjes die het oneindige met ons uithaalt. Het was namelijk heel goed denkbaar geweest Cantors methode met een wat ruimer begrip van het woord ‘gebruik’ met Wittgensteins eigen filosofie te begrijpen. Want als ‘toepassing’ en ‘gebruik’ het criterium voor betekenis zijn, waarom zou dan aan toepassingen van de rekenkunde voor oneindige verzamelingen binnen de wiskunde geen betekenis kunnen toekomen? Dat is precies wat er is gebeurd. Eerst heeft Cantors verzamelingenleer de wiskundewereld op haar kop gezet – tot crises aan toe – maar uiteindelijk heeft zijn werk de wiskunde en vooral de logica zo radicaal gemoderniseerd, dat wiskundigen als Russell, Hilbert, Brouwer en Gödel hele nieuwe gebieden van wiskunde konden voortbrengen, die leidden tot een nieuwe wetenschap: de informatica. En de computer is de moderne goochelaar bij uitstek. Deze maakt oneindig lange berekeningen hanteerbaar, en wiskundige operaties die oneindig doorlopen in een eindig aantal stappen oplosbaar. Frappant genoeg is het dan ook vooral hier, in de informatica, waar de strijd tussen eindig- en oneindigheid op dit moment het felst wordt gevoerd.