In zijn falen legde Gottlob Frege de basis voor onze moderne logica

Gottlob Frege (1848-1925) was een onopvallende Duitse academicus die tijdens zijn leven weinig erkenning kreeg voor zijn werk. Toch zou hij uitgroeien tot een van de invloedrijkste filosofen van de twintigste eeuw. En daar stopt de ironie niet. Zijn levensproject was om de wiskunde een onwrikbaar logisch fundament te geven, alleen mislukte dat. Maar tijdens deze poging legde hij de basis voor de moderne logica, waarmee hij ons begrip van taal, betekenis en redeneren drastisch veranderde.

Friedrich Ludwig Gottlob Frege wordt geboren in Wismar, een kleine havenstad in het noorden van Duitsland. Zijn vader Alexander is directeur van een meisjesschool, zijn moeder Auguste voedt hem lutheraans op. Frege ziet weinig van de wereld. Hij studeert wiskunde in Jena en Göttingen en krijgt ook wat scholing in de natuurkunde en filosofie. Hij promoveert in Göttingen, krijgt in 1874 een baan aan de universiteit van Jena en blijft daar de rest van zijn academische leven werken en wonen. Zijn colleges trekken weinig studenten en zijn boeken worden in die tijd nauwelijks gelezen. In 1887 trouwt hij; na de dood van zijn vrouw in 1905 voedt hij hun geadopteerde zoon Alfred alleen verder op. Later in zijn leven keert Frege terug naar zijn geboortestreek, waar hij in 1925 sterft. Geen groots en meeslepend leven dus, al onderhoudt hij wel een levendige correspondentie met toonaangevende filosofen van die tijd op het gebied van logica, wiskunde en taal, onder wie Edmund Husserl, Bertrand Russell en Ludwig Wittgenstein.

Zelf twijfelt hij overigens niet aan de kwaliteit van zijn werk. Hij schrijft eens, over het feit dat andere logici zijn bevindingen niet erkennen: ‘De manier waarop academici zich gedragen doet me denken aan een os die voor een nieuw hek staat: hij staart, hij loeit, hij probeert zich er zijdelings langs te wurmen, maar erdoorheen gaan – dat zou wel eens gevaarlijk kunnen zijn.’

In 1879 verschijnt Freges eerste boek, een dun werkje met de titel Begriffschrift (Begrippenschrift). Hij ontwikkelt daarin een nieuwe taal om logische redeneringen weer te geven. In wiskundeboeken uit de negentiende eeuw worden redeneringen nog in ‘gewone taal’ geschreven, dus in volzinnen. Volgens Frege laat die taal te veel ruimte voor dubbelzinnigheid. Een crime voor iemand zoals hij, die een compromisloze hang naar precisie heeft. Voor Frege is vaagheid niet iets waar je overheen kan lezen, maar een filosofisch probleem. Hij besluit daarom een taal te ontwikkelen die de logische structuur van wiskundige beweringen helder weergeeft. Alle vaagheid die de ‘gewone taal’ met zich meebrengt, hoopt hij zo uit de wetenschap te elimineren.

Frege is hiermee de eerste die radicaal breekt met de logica van Aristoteles, die in zijn tijd nog altijd dominant is. Sinds Aristoteles wordt een uitspraak in de logica opgevat als iets dat over een onderwerp wordt gezegd, zoals: ‘Socrates is sterfelijk.’ Of: ‘De appel is rood.’ Dat volstaat voor veel alledaagse redeneringen, maar niet voor de wiskunde. Wiskundigen doen namelijk voortdurend uitspraken als: ‘Voor alle getallen geldt…’ Of: ‘Er bestaat een getal waarvoor geldt…’ Deze algemene structuur blijft in de traditionele logica verborgen. Frege ontwikkelt een nieuwe logische taal waarin zulke uitspraken wel precies kunnen worden weergegeven.

Deze nieuwe logische taal van Frege werd gezien als uiterst moeilijk. De pagina’s vol horizontale en verticale strepen werden wel vergeleken met een muziekpartituur. Dat is een treffende vergelijking, ook inhoudelijk: Frege ontwierp een soort notenschrift voor het denken. Met zijn formele taal wil hij de structuur van onze redeneringen zichtbaar maken. De alledaagse taal is onvolmaakt en soms misleidend, daarom is er een logische notatie nodig die de structuur van onze redeneringen zonder vervorming kan weergeven. Hiermee legt Frege een belangrijk fundament voor de analytische filosofie, waarin taal een centrale plaats krijgt bij het onderzoeken van denken en kennis. Freges notatie overleefde het niet (die werd vervangen door een eenvoudigere symbolentaal), maar zijn ideeën wel. Ze werken nog altijd door in de theoretische informatica, programmeertalen en veel vormen van geautomatiseerd redeneren.

Tekst loopt door onder afbeelding

In zijn tweede boek vraagt Frege: wat is een getal eigenlijk? Het zijn vragen als deze die duidelijk maken hoe Frege als wiskundige kon uitgroeien tot groot filosoof.

Wiskunde gold al eeuwen als het schoolvoorbeeld van zekere kennis. Dat twee plus drie vijf is, lijkt geen kwestie van smaak of ervaring, maar een waarheid die altijd en overal geldt. Maar waarom eigenlijk? Waarop berust die zekerheid? Volgens veel tijdgenoten van Frege zijn getallen uiteindelijk gebaseerd op menselijke intuïtie of op psychologische processen. Frege verzet zich in Die Grundlagen der Arithmetik (De grondslagen van de aritmetica, 1884) fel tegen die gedachte. Dat mensen tellen of rekenen, verklaart volgens hem niet waarom wiskundige uitspraken waar zijn. Zelfs als er geen mensen bestonden, zou twee plus drie nog steeds vijf zijn.

Frege ontwikkelt een gedurfd filosofisch programma dat later bekend werd als het logicisme. Zijn stelling is even eenvoudig als ambitieus: de rekenkunde is uiteindelijk niets anders dan logica. Als dat klopt, moeten getallen kunnen worden gedefinieerd in zuiver logische termen en moeten de wetten van de rekenkunde stap voor stap uit logische axioma’s kunnen worden afgeleid. In Die Grundlagen der Arithmetik werkt Frege deze gedachte filosofisch uit. Daarna begint hij aan zijn tweedelige magnum opus, Grundgesetze der Arithmetik (Grondwetten van de rekenkunde), waarin hij zijn programma daadwerkelijk probeert uit te voeren: de rekenkunde afleiden uit de logica die hij in zijn Begriffschrift heeft ontwikkeld. Het is een project waar hij jarenlang aan werkt – en waarvan hij lange tijd denkt dat het zal slagen.

Rond de eeuwwisseling lijkt Frege zijn levenswerk bijna voltooid te hebben. Het eerste deel van Grundgesetze der Arithmetik is verschenen in 1893 en zo’n tien jaar later is ook het tweede deel bijna klaar voor druk. Dan ontvangt hij een brief. De afzender is de jonge Britse filosoof en wiskundige Bertrand Russell (1872-1970). Hij wijst Frege op een tegenstrijdigheid in het eerste deel van de Grundgesetze. Uit een van Freges uitgangspunten volgt een paradox: een verzameling die wel én niet tot zichzelf behoort.

Voor de dramatiek van het verhaal volstaat het gegeven dat Russell een logische contradictie ontdekte in de basis van Freges levensproject, waardoor diens poging om de rekenkunde volledig op logica te funderen mislukt. Maar voor de liefhebber hierbij de paradox in een notendop: Russell stelt de vraag of de verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten, zichzelf wel of niet bevat. Als deze verzameling zichzelf wel bevat, mag dat volgens de eigen definitie niet, maar als hij zichzelf niet bevat, moet hij juist wel in deze verzameling zitten.

Frege beseft onmiddellijk de ernst van de situatie. Hij voegt op het laatste moment een appendix toe aan het tweede deel van zijn boek. Daarin erkent hij dat de paradox een wezenlijk probleem blootlegt. Hij schrijft: ‘Een wetenschappelijk auteur kan nauwelijks iets ongelukkigers overkomen dan dat, nadat zijn werk voltooid is, een van de fundamenten van zijn bouwwerk aan het wankelen wordt gebracht.’ Frege is nooit volledig hersteld van deze fatale fout, al blijft hij lesgeven en publiceert hij nog wat papers.

Tekst loopt door onder afbeelding

Hoewel Frege de grondslagen van de rekenkunde wilde blootleggen, werd hij onder filosofen misschien wel het beroemdst door een heel andere vraag: hoe krijgen woorden betekenis? Dat lijkt misschien een onderwerp voor taalkundigen, maar voor Frege is het ook voor de wiskunde essentieel. Wie wil begrijpen waarom een uitspraak als ‘Twee plus drie is vijf’ waar is, moet immers eerst begrijpen wat de onderdelen van die uitspraak betekenen. Wat wijst een woord als ’twee’ eigenlijk aan?

In een essay uit 1892, ‘Über Sinn und Bedeutung’, benadrukt Frege dat het bij taal niet alleen gaat om de verwijzing (Bedeutung), maar ook om de betekenis (Sinn). Neem de woorden ‘de morgenster’ en ‘de avondster’. Eeuwenlang dachten astronomen dat het om twee verschillende hemellichamen ging, tot bleek dat beide termen naar hetzelfde verwijzen: de planeet Venus. Toch zegt de zin ‘de morgenster is de avondster’ meer dan ‘de morgenster is de morgenster’. De eerste zin levert nieuwe kennis op; de tweede is een vanzelfsprekendheid. De morgenster en de avondster verwijzen naar hetzelfde in de wereld, maar hebben een andere betekenis. Ook ’twaalf is twaalf’ en ‘zeven plus vijf is twaalf’ komen op hetzelfde neer, maar zeggen iets anders. Het gaat dus niet alleen om waar woorden naar verwijzen, maar ook om de manier waarop ze dat doen. Zinnen die dezelfde waarheid bevatten, kunnen alsnog van betekenis verschillen.

Pas na Freges dood in 1925 werd duidelijk hoe revolutionair zijn werk was. Russell, Wittgenstein en Rudolf Carnap (een leerling van Frege) speelden daarbij een belangrijke rol.

Na de Tweede Wereldoorlog werd Frege gepresenteerd als een held van de analytische filosofie. In de jaren zeventig werden de dagboeken die Frege aan het einde van zijn leven bijhield openbaar en werd duidelijk dat hij nationalistische, antidemocratische en antisemitische opvattingen had. Dit zorgde voor een schok in de academische wereld. Zo schrijft filosoof Michael Dummett (1925-2011), een van de grootste Frege-kenners, dat zijn bewondering voor Frege door deze ontdekking flinke deuken opliep. De denker die geobsedeerd leek door het opsporen van denkfouten schreef in zijn eigen dagboek grove, onbewezen algemeenheden op over hele bevolkingsgroepen.

Veel van de vragen die filosofen tegenwoordig stellen over taal, logica en betekenis werden door Frege voor het eerst scherp geformuleerd. Hij loste niet alle problemen die hij formuleerde op, maar liet je nadenken over vragen als: wat is een getal? Wat maakt een redenering geldig? Hoe kunnen woorden naar hetzelfde verwijzen en toch iets anders zeggen? Maar misschien ligt zijn grootste nalatenschap in zijn manier van filosoferen. Filosofische problemen moeten volgens hem niet worden opgelost met grootse speculaties, maar door nauwkeurig te analyseren wat we zeggen en bedoelen, en wat we uit onze uitspraken kunnen afleiden. Veel van wat hij zegt klinkt logisch, en dat is het ook, maar vóór Frege was het dat nog niet.

De grondslagen der aritmetica. Een logisch-mathematisch onderzoek van het getalbegrip
Gottlob Frege
vert. A. Phalet
287 blz.

The Frege reader. Selected philosophical writings
Gottlob Frege,
vert. Michael Beaney
Wiley-Blackwell
426 blz.
€ 39,88

Frege. Philosophy of mathematics
Michael Dummett
Bloomsbury Academic
346 blz.
€ 35,99