Logica

Logica is een filosofische en wiskundige discipline die onderzoekt wanneer redeneringen geldig zijn. De term is afgeleid van het Griekse woord λόγος of logos, dat ‘woord’, ‘rede’, ‘principe’ of ‘argument’ betekent.

Logici onderzoeken of alle stappen wel kloppen in een redenering. Spreken mensen zichzelf niet tegen? Trekken ze geen ongeoorloofde conclusies? Wanneer heeft een uitspraak betekenis, en wanneer niet?

De filosofische discipline van de logica vindt zijn oorsprong bij de Griekse denker Aristoteles (384-322 v.Chr.), de bedenker van het ‘syllogisme’. Een syllogisme is een redenering bestaande uit twee ‘premissen’ (stellingen of aannames) waar noodzakelijk een conclusie uit moet volgen. Als je bijvoorbeeld de eerste premisse ‘Alle mensen zijn sterfelijk’ neemt, en daarna de tweede premisse ‘Socrates is een mens’, dan volgt daar logischerwijs de conclusie ‘Socrates is sterfelijk’ uit.

Aristoteles onderscheidt vele soorten redeneringen, waarvan hij er slechts veertien als geldig en dus als syllogisme accepteert. Hij denkt dat elke geldige redenering in de vorm van een syllogisme gegoten kan worden. Dat is echter niet het geval. Desondanks wordt de aristotelische logica van de ‘syllogistiek’ tot aan de negentiende eeuw nog gebruikt.

De Duitse filosoof Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) heeft bijna tweeduizend jaar na Aristoteles een droom: wat als we een taal zouden bedenken waarin we gedachten of concepten kunnen formuleren, en waarvan we vervolgens met wiskundige formules de waarheid kunnen berekenen? Die droom zal Leibniz zelf nooit verwezenlijken, maar zijn landgenoot Gottlob Frege (1848-1925) komt er tweehonderd jaar later dichterbij dan wie ook. Frege ontwikkelt in zijn Begriffschrift namelijk een taal die gebaseerd is op de wiskunde, waarin stellingen en concepten eenvoudig in symbolen vertaald en vervolgens berekend kunnen worden.

Deze ‘eerste-orde predikatenlogica’ van Frege wordt tot op de dag van vandaag door logici gebruikt. Zij is een zogeheten ‘formele logica’: ze onderzoekt de structuur van logische redeneringen door deze te vertalen in symbolen en op basis daarvan de geldigheid ervan te berekenen. Naast de formele logica is er ook een tak van logica die zich toespitst op argumentaties zoals die in het echte leven plaatsvinden. Denk hierbij aan redeneringen in gesprekken, debatten en geschreven teksten in een ‘natuurlijke’ taal, zoals het Nederlands. Deze tak noemen we de informele logica.

Logica houdt zich in het algemeen vooral bezig met de structuur van logische redeneringen. De verzameling regels die vertelt welke termen tot een (logische) taal behoren en hoe je daar welgevormde zinnen of formules mee kan maken, noemen we de syntaxis. Welke betekenis termen en zinnen of formules vervolgens hebben, is het domein van de semantiek.

De semantiek beschrijft dus waar bepaalde termen en uitspraken in een (logische) taal naar verwijzen. Zonder semantiek is niet te bepalen of een uitspraak, zin of formule waar of onwaar is. De meeste logici houden zich echter niet met de waarheid, maar vooral met de geldigheid van redeneringen bezig. Geldigheid betekent: als de premissen waar zijn, dan moeten die in alle gevallen tot een conclusie leiden die ook waar is. Een redenering met een of meerdere onware premissen kan echter tot een onware conclusie leiden. Toch kan de redenering dan nog geldig zijn, zo bepaalt de logica.

Een beproefde methode van logici om de geldigheid van een redenering te testen, is door op zoek te gaan naar tegenvoorbeelden. Neem bijvoorbeeld de volgende redenering:

Premisse 1: Sommige filosofen hebben een baard
Premisse 2: Socrates is een filosoof
Conclusie: Socrates heeft een baard

Deze redenering lijkt in eerste instantie te kloppen: de premissen zijn waar, want sommige filosofen hebben inderdaad een baard en Socrates is een filosoof. Ook de conclusie klopt, want Socrates wordt inderdaad vaak afgebeeld met een baard. Maar kijk wat er gebeurt als je Socrates vervangt door Nietzsche:

Premisse 1: Sommige filosofen hebben een baard
Premisse 2: Nietzsche is een filosoof
Conclusie: Nietzsche heeft een baard

De conclusie is onjuist, want Nietzsche had een snor, geen baard. Door middel van dit tegenvoorbeeld weten we nu dat deze redenering ongeldig is – ook al kan er in sommige gevallen een ware conclusie uit volgen. We hebben hier dus te maken met een ongeldige logica.

De logica maakt als discipline zowel deel uit van de filosofie als van de wiskunde. Ze onderzoekt hoe we correct kunnen denken, en maakt tegelijkertijd dat denken berekenbaar. Grote filosofen en wiskundigen als Gottlob Frege, Bertrand Russell (1872-1970) en Alfred North Whitehead (1861-1947) dachten zelfs dat alle wiskunde terug te herleiden zou zijn tot logica. De Oostenrijkse wiskundige en logicus Kurt Gödel (1906-1978) bewees in 1931 met zijn ‘onvolledigheidsstelling’ dat dat echter niet klopt: er kan geen logisch systeem zijn dat alle wiskundige waarheden bevat.

Even tussendoor… Meer lezen over logica? Schrijf je in voor de gratis nieuwsbrief:

Desondanks wordt de logica tegenwoordig op tal van gebieden gebruikt. Zo passen wetenschappers en filosofen uit allerlei disciplines haar toe om de (on)juistheid van hun argumenten te bewijzen. Ook staat ze aan de basis van de informatica of computerwetenschappen – zonder logica hadden we onze computers en smartphones niet gehad. Nog steeds hebben de meeste programmeertalen logische talen als fundament.