Filosofie is makkelijker als je denkt: wat is rekenen?

Filosofie is makkelijker als je denkt. Maar telt dat ook voor denken met getallen? Een korte inleiding in de filosofie van het rekenen.

Wat is rekenen? Op school krijgen we een praktisch antwoord op die vraag: rekenen is op zo’n manier met getallen omgaan dat we bijvoorbeeld de prijs van de boodschappen of de verkiezingsuitslag kunnen vaststellen. Als je het zo bekijkt is rekenen een manier om achter de waarheid te komen. Je kunt natuurlijk de verkiezingsuitslag ter discussie stellen, maar dan stel je de vraag of er goed gerekend is, niet of rekenen wel de manier is om erachter te komen. Maar geldt dit voor alle vormen van kennis? Leidt het juiste rekenwerk altijd tot de waarheid?

Het aantrekkelijke aan rekenen is dat het zo duidelijk en evenwichtig is. Een som heeft altijd dezelfde uitkomst: 3 + 4 is onveranderlijk 7. En de getallen aan beide kanten van het isgelijkteken zijn in balans. Vanwege de harmonie van het rekenen zou Pythagoras (570-500 v.Chr.) getallen een goddelijke status hebben gegeven. Volgens de verhalen van zijn aanhangers meende hij dat het hele universum gemaakt is van getallen en dat de orde in de wereld in feite neerkomt op getalsverhoudingen.

Als de werkelijkheid fundamenteel georganiseerd is volgens rekenregels, dan moeten we de waarheid over de wereld zoeken in het rekenen. Daarom probeerden Galileo Galilei (1564-1642) en Gottfried Leibniz (1646-1716) de wereld te beschrijven in een wiskundige taal. Galilei zocht naar een wetenschappelijke theorie die met behulp van de wiskunde de hele kosmos zou kunnen omvatten. Leibniz’ ideaal was een universele taal die ervoor zou zorgen dat ‘als er discussie is tussen mensen, we simpelweg kunnen zeggen: Laten we rekenen en zien wie er gelijk heeft.’

Als rekenen de waarheid over de werkelijkheid bevat, waarom dan niet ook over goed en kwaad? Jeremy Bentham (1748-1832) meende dat we met rekenen de juiste morele keuzes moeten kunnen maken. Er zijn volgens hem twee morele principes: pijn vermijden en plezier zoeken. Om goed te handelen moeten we precies uitzoeken hoe we zo veel mogelijk plezier en zo min mogelijk pijn voor zo veel mogelijk mensen veroorzaken. Daarvoor bedacht Bentham de hedonistische calculus, een rekenmethode die de hoeveelheid genot en pijn tegen elkaar afweegt.

Maar kunnen we gevoelens wel goed uitdrukken met getallen? Edmund Husserl (1859-1938) vond van niet. Hoe we iets ervaren laat zich niet berekenen. Wereld en waarheid zijn groter dan de wiskunde kan bevatten. Misschien heeft rekenen wel helemaal niets met waarheid te maken, zoals Ludwig Wittgenstein (1889-1951) dacht. Hij zag wiskunde als een gesloten systeem dat niets zegt over de werkelijkheid, maar enkel zijn eigen regels consequent probeert uit te voeren.

Eén ding is zeker: voor eenduidigheid hoef je niet op de filosofie te rekenen. Maar neem vooral de proef op de som.

De filosoof stelt vragen. Maar welke vragen stelt de filosoof dan? Oefen hier de vragende houding van de filosofie.

Volgens Socrates, Cicero en Montaigne is filosoferen niet alleen de kunst van het vragen, maar is filosoferen ook leren sterven. En daarmee is meteen veel gezegd over het soort vragen dat de filosoof stelt: wat komt er na de dood? Wat is leven? Vragen die vragen om een antwoord, terwijl je weet dat dat er niet is. De vraag van de filosoof laat zien dat we het leven nooit van buitenaf kunnen verklaren en dat we dus telkens onze wereld van binnenuit moeten bestuderen. Probeer nu eens met die houding deze vraag te stellen: is waarheid te berekenen? (En welke vragen zijn er nog meer te bedenken?)

Kun je denken dat je denkt, zonder dat je denkt? Filosofie is moeilijker als je denkt in paradoxen. Door Barteld Kooi.

‘Calculemus,’ schreef Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716): als we heel precies zijn, dan kunnen we uitrekenen wat waar is, en kunnen we ook uitrekenen wat we moeten doen. Economen hebben dit wel erg letterlijk genomen in hun zogeheten rationele-keuzetheorie. En toch zijn er problemen waar je met rekenen niet goed uit komt.

Stel, je moet kiezen uit twee enveloppen en het enige wat je verteld wordt is dat in de ene twee keer zoveel geld zit als in de andere, maar verder weet je helemaal niks. Je vindt 100 euro in de envelop die je kiest. En nu is de vraag: wil je 100 euro betalen voor de andere envelop? Een econoom zegt dan dat je moet uitrekenen wat de verwachte waarde is van die envelop. Nou ja, denk je, de kans is 50 procent dat er 50 euro in zit en 50 procent dat er 200 euro in zit. Dat betekent dat de verwachte waarde maar liefst 125 euro is. Daar betaal je graag 100 euro voor.

Toch is er iets geks aan de hand. Want het maakt voor de berekening eigenlijk niet zoveel uit welk bedrag precies in de gekozen envelop zit. Als je een ander bedrag had gevonden, dan zou de verwachte waarde van de envelop die je niet koos ook groter zijn dan de waarde van de envelop die je wel koos. Maar had je dan niet beter meteen die andere envelop kunnen kiezen? De berekening laat zien dat je altijd liever de envelop wilt die je niet kiest.

Even tussendoor… Elke week zelf leren denken met Filosofie Magazine? Schrijf je in voor de gratis nieuwsbrief

Waar gaat het mis? Dat is erg lastig te zeggen. Er is veel geschreven over de twee-enveloppenparadox, omdat die de hele rationele-keuzetheorie op losse schroeven zet. Het lijkt er vooral op neer te komen dat je, voordat je gaat rekenen, ervoor moet zorgen dat je een goed model maakt van de situatie waar je iets over wilt weten. Pas dan slaan je berekeningen ergens op.

En nu wil het geval dat in een goed model eigenlijk veel meer informatie gestopt moet worden dan je hier hebt. Hoe worden die bedragen in de enveloppen gestopt? Wat is de kans dat je in eerste instantie een bepaald bedrag vindt? Wie vertelt je iets over die enveloppen en hoe gaat diegene te werk? Hoe je die vragen ook beantwoordt, het is nooit zo dat je dan altijd de andere envelop wilt. Kortom, bezint eer ge berekent.

Wetenschap toetst met experimenten de feiten, filosofie toetst met experimenten het denken.

Stel je voor!
Hoe zou het leven eruitzien als we niet konden rekenen? Wie een voorbeeld wil geven van absolute zekerheid komt algauw met iets wiskundigs. Iets waaraan niemand kan twijfelen: 1 + 1 = 2, dat is kraakhelder. Maar hoe weten we eigenlijk dat één plus één twee is? Bij een uitspraak zoals ‘De lucht is blauw’ kunnen we omhoogkijken voor bevestiging. Waar moeten we naar kijken als het gaat om berekeningen? Waar corresponderen getallen mee in de werkelijkheid om ons heen? Bestaan getallen echt?

Dat klinkt onwaarschijnlijk: getallen bestaan niet op dezelfde manier als planten, mensen of gebouwen. Getallen zijn abstracte entiteiten die je niet in fysieke vorm kunt aantreffen. Je kunt ze wel uitbeelden, als uitgeschreven cijfer natuurlijk, of nog beeldender als een beeldhouwwerk in de vorm van het getal 2. Maar dat beeld zou dan niet hetzelfde zijn als het getal 2 waar we het over hebben in de som 1 + 1 = 2. Het getal zelf blijft een abstractie. Maar bestaan getallen dan wel?

Volgens de Amerikaanse filosoof Willard Van Orman Quine (1908-2000) moeten we ervan uitgaan dat getallen reële entiteiten zijn. Stel je voor dat we op een of andere manier zouden ontdekken dat getallen en andere wiskundige objecten niet echt zijn, maar verzinsels. De hele wiskunde zou op losse schroeven komen te staan, en daarmee ook de andere exacte wetenschappen, die de wiskunde als basis gebruiken. Bijna alle wetenschappelijke theorieën die we kennen zouden gefundeerd blijken te zijn op onware stellingen over verzonnen dingen.

Als we ons geloof in de wetenschap niet overboord willen gooien, is het volgens Quine noodzakelijk om getallen als bestaande entiteiten te beschouwen. Alleen wanneer de som 1 + 1 = 2 verwijst naar een echte relatie tussen echte dingen kunnen we zeker zijn van de waarheid ervan.

Echt?!
Quine is een ‘platonist’ als het gaat om wiskunde: hij meent dat getallen en andere wiskundige objecten echt bestaan, maar wel anders dan fysieke objecten. Volgens critici kunnen platonisten echter niet goed uitleggen hoe dat precies werkt. Fictionalisten denken daarom dat wiskundige objecten handige ficties zijn: wiskundige berekeningen werken goed, maar verwijzen niet naar iets in de werkelijkheid. Maar die theorie roept dan weer de vraag op: hoe kan het dat al die wetenschappelijke theorieën die van getallen en berekeningen gebruikmaken zoveel succes hebben? Vliegtuigen blijven in de lucht, computers draaien en operaties slagen door wiskunde. Kan een verzinsel zo goed functioneren?

Filosofie is ook makkelijker als je leest. Goed leest. Filosofische bronteksten zijn niet altijd even makkelijk te begrijpen. Daarom helpen we je in een close reading op weg met extra context en commentaar bij deze tekst van Immanuel Kant over wiskundige uitspraken.

Allereerst*1 moet worden opgemerkt dat wiskundige uitspraken in strikte zin altijd a priori*2-oordelen en niet empirisch zijn, omdat ze een noodzakelijkheid hebben die niet aan de ervaring kan worden ontleend. Mocht men dit niet met me eens zijn, dan beperk ik mijn stelling wel tot de zuivere wiskunde*3, waarvan het begrip al inhoudt dat ze geen empirische, maar uitsluitend zuivere a priori-kennis bevat.

Men zou aanvankelijk denken dat de uitspraak 7 + 5 = 12*4 een zuiver analytische uitspraak is, die aan de hand van de wet van de tegenspraak volgt uit het begrip van de som van zeven en vijf. Maar bij nader inzien blijkt dat het begrip van de som van 7 en 5 alleen maar de vereniging van beide getallen in één enkel getal inhoudt, waardoor dat ene getal, dat beide omvat, niet in het minst gedacht wordt. Als ik alleen de vereniging van zeven en vijf denk, denk ik daardoor nog helemaal het begrip twaalf niet, en hoelang ik het begrip van zo’n mogelijke som ook analyseer, toch zal ik daarin de twaalf niet aantreffen. Men moet boven deze begrippen uitstijgen door de hulp in te roepen van de aanschouwing*5 die met een van beide correspondeert, bijvoorbeeld zijn vijf vingers of (…) vijf punten, en zo stuk voor stuk de eenheden van de in de aanschouwing gegeven vijf toevoegen aan het begrip van de zeven. Men breidt zijn begrip door de uitspraak 7 + 5 = 12 dus werkelijk uit en voegt aan het eerste begrip een nieuw toe dat er nog helemaal niet in gedacht was. De rekenkundige uitspraak is dus altijd synthetisch*6.

Uit: Immanuel Kant, Prolegomena, vert. Jabik Veenbaas en Willem Visser, Boom, 2020.