Kun je denken dat je denkt zonder dat je denkt? Filosofie is moeilijker als je denkt in paradoxen.
Zijn er net zoveel vragen als antwoorden? Dat is lastig te zeggen, want er zijn oneindig veel vragen en ook oneindig veel antwoorden. Zijn dat er dan evenveel? Sommige vragen hebben geen antwoord en sommige vragen hebben meer dan één antwoord. Het is ook nog zo dat twee verschillende vragen hetzelfde antwoord kunnen hebben. Is dat dan een van die vragen zonder antwoord?
Er is iets geks aan de hand als we oneindige hoeveelheden willen vergelijken. Galileo, beter bekend als natuurkundige en astronoom, vroeg zich af of er net zoveel natuurlijke getallen zijn als kwadraten. Er zijn twee manieren om deze vraag te beantwoorden en voor beide is wat te zeggen.
Je zou kunnen zeggen dat er meer natuurlijke getallen zijn dan kwadraten. Immers: ieder kwadraat is een natuurlijk getal, maar niet ieder natuurlijk getal is een kwadraat. Schrijf de natuurlijke getallen maar eens op, dan zie je dat sommige daarvan kwadraten zijn en sommige niet: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 … Het is duidelijk dat er meer natuurlijke getallen zijn dan kwadraten.
Oneindige reeksen zijn niet te vergelijken
Het argument om te laten zien dat het er evenveel zijn gaat als volgt: als je de natuurlijke getallen allemaal achter elkaar zou schrijven en daaronder de kwadraten, dan krijg je twee even lange rijen:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …
02 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132 …
Zoals er evenveel knopen als knoopsgaten in je overhemd zijn omdat bij iedere knoop een knoopsgat hoort en andersom, zo zijn er ook evenveel natuurlijke getallen en kwadraten omdat bij ieder natuurlijk getal een kwadraat hoort en andersom. Het is duidelijk dat er evenveel natuurlijke getallen als kwadraten zijn.
Uit deze paradox concludeerde Galileo dat oneindige hoeveelheden niet te vergelijken zijn. In de negentiende eeuw omarmde de wiskundige Georg Cantor het tweede idee en accepteerde dat onze eindige intuïties niet allemaal kunnen kloppen als we denken over oneindigheid. Om onze intuïties over oneindigheid te ontwikkelen bedacht David Hilbert later zijn bekende metafoor van een hotel met oneindig veel kamers. Op basis van dit idee kunnen we zeggen dat er evenveel vragen als antwoorden zijn. Helaas weten we nog niet welk antwoord bij welke vraag hoort.
