0, de geschiedenis van een omstreden getal

Zo ongeveer moeten de Maya’s hebben gedacht toen ze, uit angst voor het einde der tijden, een tijdrekening invoerden die tot doel had dit einde zo ver als ze maar konden voor zich uit te schuiven. Ongeveer 300 jaar na Christus bedachten ze een jaarkalender die, net als de onze, uit 365 dagen was opge­bouwd. Maar wat als het jaar zou eindigen? De tijd zou volgens hun religie worden uitgeleverd aan de god van de dood, en met een beetje pech zou oudejaarsavond uitlopen op een ongeloof­lijke catastrofe. Uit voorzorg voerden ze daarom een nieuwe jaarkalender in, nu één die een cyclus van 260 dagen be­schreef. Als het ene jaar was afgelopen, zou het andere jaar nog voortduren, en zolang er in ieder geval één enkel klokje doortikte, zou de apocalyps uitblijven. Na 52 jaren van 365 dagen en 73 jaren van 260 dagen echter zouden beide jaren tegelijk eindigen (want 52 ´ 365 = 73 ´ 260 = 18980 dagen). En wat deden ze daarom? Ze voerden weer een nieuwe kalender in.

Meer cycli, nog grotere bewegingen in de tijd werden bedacht om de dood de baas te blijven. Begin en einde van willekeurig welke cyclus werden in het schrift van de Maya’s aangegeven door een getatoeëerde man met het hoofd in de nek. Wat ziet hij daar in de lucht? Een blauwe hemel? Eerder onheil. Ze noemden hem Nul, deze man, en hij werd geregeerd door de god van de dood. Een mooiere anekdote uit de geschiedenis van de mensheid om te illustreren hoe nul op de wereld kwam, is er waarschijnlijk niet: nul staat niet aan het begin, maar aan het einde van de geschiedenis van onze getallen. Het werd eerder beschouwd als een duivels, onheilspellend teken dan als een handig rekeninstrument.

Zon, vleugels, klaver

Het is niet zo verwonderlijk dat nul, in vergelijking tot andere getallen, pas laat op de wereld is gekomen. Het getal 1 staat voor één ding, het getal 2 voor twee dingen, maar waar­voor staat nul? Voor niets? Maar wat is niets? Er is nauwe­lijks een fysieke voorstelling van te maken, hooguit een religieuze, zoals bij de Maya’s het geval was. Een symbool voor nul ontbrak dan ook in de meeste cultu­ren. Slechts in drie culturen werd, min of meer onafhankelijk van elkaar, de nul uitgevonden. En elders in de wereld is in navolging daar­van de nul vroeg of laat in het rekensysteem opgenomen. Het eerst werd de nul bedacht door de Soemeriërs, de oudste bewo­ners van Mesopotamië, in het huidige Irak. Ongeveer vier duizend jaar geleden ontwikkelden zij een getal­lenstelsel dat uiteindelijk tot de invoering van nul zou leiden. Zij telden anders dan we nu gewend zijn. Wij rekenen met tien cijfers (0 tot en met 9), en dat is zo vanzelfspre­kend, dat een voorstel­ling van een ander rekenstelsel moeite kost. Maar het kan anders.

Om een getal in schrift om te zetten, is een teken nodig. Vaak werd zo’n teken heel letterlijk ingezet: de zon voor 1, een vogel voor 2 (vleugels), een klaver voor 3 (bladeren), een zoogdier voor 4 (poten), een hand voor 5 (vingers), etc. De invoering van een nieuw symbool voor ieder getal heeft echter als nadeel dat dit een ontelbaar aantal verschillende symbolen oplevert en je die stuk voor stuk moet onthouden. Vrijwel ieder getal­lenstelsel maakt daarom gebruik van de herhaling van symbo­len. Een goed voorbeeld is het Romeinse stelsel. I staat daarin voor 1, II voor 2 en III voor 3. V is een afwij­kend symbool, namelijk voor 5. Hun getal 6 wordt daarom niet weergege­ven door IIIIII, maar door VI, en dat betekent: 5 + 1 = 6. Zo voerden de Romeinen rond het begin van onze jaartel­ling meer symbolen in: de inmiddels bekende L voor 50, C voor 100, D voor 500 en M voor 1000. De combinatie van deze symbo­len leverde de basis voor hun wiskunde. Maar rekent dit nou makkelijk? Grote getal­len leve­ren al snel een lange reeks op. Neem 3728. Dat wordt MMMDCCXX­VIII. Handig kun je dit systeem niet noemen, hoewel er in Europa tot laat in de Middeleeuwen mee is gerekend.
 
De Soemeriërs pakten dit alles veel slimmer aan. Als basis voor hun getallenstelsel gebruikten ze 60. De Soemeriërs gebruikten 60 zoals wij nu 10 gebruiken. Het getal 425 bij­voorbeeld is in ons stelsel gelijk aan 4 ´ 100 + 2 ´ 10 + 5, ofwel 4 hon­derdtal­len, 2 tientallen en 5 eenheden. In het Soemerische stelsel geldt: 425 = 7 ´ 60 + 5, dus 7 zestigtal­len en 5 eenheden. Om die reden schreven zij 425 als 75, overigens in spijker­schrift.
Hun stelsel is later bepa­lend geweest voor onze tijdrekening: in een minuut zitten 60 seconden en in een uur 60 minuten, dus 60 ´ 60 = 3600 secon­den. Als een klok 4:23:44 aangeeft, dan staat dit dus voor 4 ´ 3600 + 23 ´ 60 + 44 = 15824 seconden.

Hoe kwamen ze in Mesopotamië nu tot de invoering van het concept nul? Neem het getal 25205. Dat is gelijk aan 7 ´ 3600 + 5, dus in het Soemerische stelsel 75. Maar we zagen al dat ook 425 gelijk is aan 75. De verwarring komt voort uit het ontbreken van de zestigtallen in 25205. Eigenlijk staat er 25205 = 7 ´ 3600 + 0 ´ 60 + 5. Om die reden schreven ze 7  5, met een lege plek tussen 7 en 5 om aan te geven dat er geen zestigtallen waren. Zo ontstond nul: als niets, als een lege plek tussen twee symbolen. En omdat op deze manier nog altijd 705 en 7005 met elkaar kunnen worden verward, bedachten ze in Mesopotamië uiteindelijk een symbool voor nul.

De ontwikkeling van een symbool voor nul in het getallenstel­sel duurde overi­gens bij elkaar zo’n vijftien eeuwen. In feite zijn het niet de Soemeriërs, maar hun opvolgers, de Babyloni­rs, ge­weest die rond 500 voor Chr. een teken voor nul intro­duceer­den. Een paar honderd jaar later, met de verovering van Baby­lon door Alexander de Grote, kwam definitief een einde aan de Mesopotamische beschaving. Hoewel deze aanwijsbaar in­vloed op de Griekse cultuur heeft gehad, zou het nog ruim achttien eeuwen duren voordat nul in Europa voet aan wal kreeg.
Niet via de Maya’s overigens, want toen Columbus in Amerika arriveerde, was hun cultuur, als hadden ze het zelf berekend, door een ongunstige en mysterieuze samenloop van catastrofes reeds ten onder gegaan. En omdat de Spanjaarden zo hevig schrokken van de gruweldaden van de Azteken, besloten ze Ah Puch, de Maya-god van de dood, nog een handje te helpen door vrijwel alles dat naar Indianen riekte, zo goed als ze konden te vernietigen.

Lucht

De Europese nul kwam, via vele omwegen en gehinderd door allerlei conservatieve krachten, uit een heel ander deel van de wereld: uit India. In de vijfde eeuw na Chr. raakte ook daar een symbool voor nul in gebruik, nu in een rekensysteem dat net zoals ons huidige stelsel 10 als basis had. Historici zijn het er niet over eens hoe de nul daar precies is ont­staan. Zeker is dat via Alexander de Grote, die in 326 voor Chr. de grens van zijn rijk tot in India had verlegd, een deel van de Babylonische rekenmethode (maar zonder nul!) het Verre Oosten heeft bereikt. Zeker is ook dat het Indiase getallen­stelsel zich in wisselwerking met het Chinese heeft ontwik­keld.

De nul van de Indiërs had in ieder geval alles te maken met de lucht, uit welke richting de wind die destijds ook aange­voerd mag hebben. De namen die voor nul in omloop waren, illustreren dat: ambara (atmosfeer), kha (hemellucht), ananta (oneindig­heid), âkâsha (ether) en, verreweg het meest gang­baar, shûnya (leegte). Net als bij de Maya’s – denk aan hun in de lucht turende man ‘Nul’ die de dag moest opstarten – en bij de Soeme­riërs – 60 was het getal van Anu, de god van de lucht – ont­leenden ook de Indiërs de basis van hun rekenstel­sel aan het niets dat de lucht verbeeldde. Maar was het echt niets? De Indiase filosofie leert van niet: substantie kan niet verdwij­nen, hooguit van vorm veranderen. De ruimte is niet leeg in de absolute zin van het woord, maar gevuld met de elementen die het leven mogelijk maken.

Een andere naam voor nul was bindu, punt: het ene onveran­derlijke en eeuwige punt van waaruit alles gestalte krijgt. Alles ligt met andere woorden al besloten in de oneindige ruimte opgespannen door de atmosfeer, zoals de getallen in nul, en is het vanuit dit perspectief niet vanzelfsprekend nul door een kleine cirkel te symboliseren? Dat deden de Indiërs, vanuit een filosofie die verrassende gelijkenissen met die van Aristoteles vertoont. Denk alleen maar aan de aristotelische god: hij is zuivere vorm, het zuivere denken ook, en de onbe­wogen beweger. Door Franse critici werd deze god later een roi fainéant genoemd: een koning die heerst, maar niets uitvoert, omdat hij alleen maar denkt. Te lui was hij in ieder geval om de Grieken het concept nul in te fluisteren.
 
De nul die de Indiërs shûnya noemden, symboliseerde nog meer: het was de toestand op een rekenbord zolang er geen steentjes op lagen. Rekenborden werden in vrijwel iedere cultuur ontwik­keld om rekenen voor handelsdoeleinden te verge­makkelijken. De eenvoudigste rekenborden bestonden uit strepen en kruisjes of andere symbolen in het zand. Later werden ze van hout gemaakt en van poten voorzien. De Romeinen noemden een telbord een abacus en meestal bestond die uit verschillen­de vakken waarin calculi werden gelegd. (Calculus is Latijn voor kiezelsteen.) Ook in India gebruikten ze rekenborden, hoewel die in de loop van de tijd in onbruik raakten, omdat het door hen ontwikkelde tien­tallige stelsel, inclusief de nul geschreven als ‘0’, het rekenen aanzienlijk vereenvoudigde.

Hoe kwam de nul nu in Europa? Door weer en wind, kun je wel zeggen, want het zou nog even duren. De eerste stap werd gezet door Arabische kooplieden die India aandeden en het Indiase rekenstelsel rond 800 na Chr. in de Arabische wereld introdu­ceerden. Enthousiast verwelkomden geleerden aan de academie van Bagdad de wiskunde uit India. Onder hen was al-Khuwarizmi, van wiens naam ons woord ‘algoritme’ is afgeleid. In zijn tijd werd het Sanskriet shûnya vertaald als sifr, de basis van het in vrijwel alle Europese talen in gebruik genomen woord voor cijfer (chiffre, Ziffer, šifra). Maar hoe is het mogelijk, dat een woord dat eerst alleen voor nul stond, uiteindelijk de aanduiding is geworden voor al onze getallen? Dit was het gevolg van hardnekkig Europees protectionisme, dat zowel conservatief als xenofobisch van aard was.

Oost ontmoette West, zowel in Konstantinopel, het huidige Istan­bul, als in Andalusië, Moors Spanje. De Franse monnik Gerbert van Aurillac bezocht Spanje en maakte rond 970, als een van de eerste Europeanen, kennis met de Arabische, ‘algor­istische’ rekenmethode. Deze bracht hij mee terug naar Frank­rijk, maar zijn knapzak bood slechts plaats aan negen getal­len, en niet aan nul. Pas met de terugkeer van de eerste kruisvaarders uit Jeruzalem aan het einde van de elfde eeuw, deed nul haar intrede in Europa. Met open armen werd ze echter niet ontvan­gen. Het doel van de kruistochten was niet om Arabische in­vloed in Europa te doen gelden, maar andersom: de Arabieren tot het christendom te bekeren. De Europeanen werk­ten nog met de uit de Romeinse tijd overgeleverde, primitieve rekenmethode en de ambachtelijke abaci, de telborden. Prima, vond de katho­lieke kerk. De eenvoud van het Arabische stelsel werd met argwaan ontvangen, want wat anders kon deze eenvoud verbergen dan een satanische herkomst? Leegte symboliseerde in het middeleeuwse Europa de duivel. Net zo stond nul, sifr, symbool voor het gevaar dat uit het oosten kwam. De kerk redeneerde volgens het principe van gelijke monniken, gelijke kappen. Vandaar de regel ‘één Arabisch cijfer fout, dan alle Arabische cijfers fout’.

Brandstapel

Zo leidde de introductie van nul tot de strijd van de algo­risten, Europeanen die de Arabische cijfers gebruikten, met de abacisten, de voorstanders van het archaïsche Grieks-Romeinse rekenstelsel die werden gesteund door de katholieke kerk. Het Engelse woord voor geheimschrift, cipher, refereert aan de tijd dat rekenen met nul beter ondergronds kon gebeu­ren, wilde je althans niet de brandstapel riskeren. Want, geloof het of niet, algoristen werden net zoals Galilei – die beweerde dat niet de zon om de aarde, maar de aarde om de zon draait – ter dood veroordeeld.

Lang duurde het, maar de algoristen wonnen het pleit. Nog na hun overwinning op de abacisten werden berekeningen met Arabi­sche getallen op een telbord nagerekend om te controleren of die wel klopten. Pas na de Franse revolutie raakten telborden langzaam in onbruik, hoewel telramen tot in de jaren tachtig op Nederlandse scholen zijn gebruikt.

We zeggen nog wel eens: ‘Hij is een grote nul!’ En hoe luidde dat in dertiende-eeuws Frans? C’est un cifre en algorisme! Nul, begonnen als niets, als een lege plaats die, misschien wel uit angst voor de dood, met steeds meer kennis en symbo­liek is beladen, eindigde als een scheldwoord waarvan de herkomst, misschien wel uit schaam­te, zorgvuldig is gecamou­fleerd.
 
Leestip: The Nothing that is – A Natu­ral History of Zero, door Robert Kaplan.